TAOCP 2권 제3판 제4장 및 부록 관련 질문들입니다. 해당 연습문제 해답 부분에 대한 질문도 포함합니다.

TAOCP 2권 제3판 기준, 최신 정오표(http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/all2.ps.gz) 적용됨

p.194 네이피어의 인용구

Seeing there is nothing (right well beloued Students in the Mathematickes) that is so troublesome to Mathematicall practise, nor that doth more molest and hinder Calculators, then the Multiplications, Diuisions, square and cubical Extractions of great numbers, which besides the tedious expence of time, are for the most part subiect to many slippery errors. I began therefore to consider in my minde, by what certaine and ready Art I might remoue those hindrances.

17세기 영어인데 beloud = beloved, diuisions = divisions, doth = does, minde = mind, certaine = certain Art = are 일 것입니다. 일단 이렇게 번역해 보았습니다:

(사랑하는 수학과 학생들이여,) 수학의 실행에서, 곱셈, 나눗셈, 큰 수의 제곱근 및 세제곱근 구하기만큼 귀찮은 것도, 그리고 계산자를 번거롭고 성가시게 하는 것도 없다. 그런 일들은 지겨운 시간 낭비일 뿐만 아니라, 대부분의 경우 수많은 미묘한 실수를 피할 수 없는 일이다. 그래서 나는, 어느 정도의 확신과 준비성을 가지고, 그런 번거로움을 없애보기로 마음먹었다.


존 네이피어는 시절에는 수학과 학생들이라는 표현으로는 조금 어색한듯 합니다. student의 의미가 학생이라기보다는 연구자라는 뜻인것 같습니다. Mathematical practise 는 ,수학의 실행 보다는 단순히 수학문제 인것 같습니다. extractions 은 구하다(풀이)의 의미이니 제곱근(square root)과 세제곱근(cubical root)이 아니라 제곱과 세제곱 일것 같습니다. 그리고 아주 큰수가 곱하기 , 나누기도 한정하고 있습니다. 아주 큰 수 이기 때문에 곱하기 나누기가 힘들고 지겹다라는 의미인 것 같습니다. 실제적으로 아주 큰 수 의 곱하기 나누기 등을 위해서 로그를 발명한 사람이 이분(네이피어) 이시니 곱하기,나누기도 한정하고 있는 것이 올바른듯 합니다.

이렇게 번역해보았습니다. (수학을 아주 사랑하는 연구자들에게)수학문제에 있어서,아주 큰수의 곱하기 , 나누기 , 제곱 ,세제곱을 구하는 만큼 계산자들을 번거럽고 성가시게 하는 것은 없다.

여기서 계산자들(Caculators)는 사람을 뜻하는 것이니 뒤에 한자를 추가하거나 해서 의미를 명확하게 할 필요가 있을 것 같습니다. --황의범(xevious7)


학생의 뜻에 "공부하는 사람"이라는 뜻도 있으니 student의 번역어로 써도 무방하겠습니다만, 아무래도 혼란이 오겠죠? "학도"라는 표현은 어떨까요? "(친애하는 수학도 여러분에게)" 정도? 과감히 옛스런 표기를 쓰는 것도 방법일듯. (마치 유교 경전에서 튀어나온듯한 표현..) -- 박종대

Calculators는 "계산하는 이" 정도면 될 테고, 그것보다도 "square and cubical extractions"는 "제곱근과 세제곱근 구하기"입니다. 그냥 "제곱, 세제곱"이 아니고요. -- 박부성


square 는 제곱이라는 뜻입니다. 제곱근은 square root 입니다. 제곱근풀이라고 할때 보통 exraction of sqaure root 로 쓰여집니다. 세제곱근풀이는 extraction of cubic root 라고 합니다.

root가 없는 상태에서는 square는 제곱이란 뜻이고 cubical 은 부피(세제곱)의 라는 뜻이라고 알고 있습니다.

제가 부족해서 sqaure and cubical extractions 이 제곱근과 세제곱근이 되는지 이유를 잘 모릅니다. 이것이 제곱근과 세제곱근을 뜻하는 일반적인 관용어구인가요?

왜 제곱근과 세제곱근이 되는지 이유를 설명해주시면 감사하겠습니다. 잘못 알고 있는 것을 고치고 싶으니 이유를 가르쳐주십시요. (누구든지 알고있으신 분이 있으면 알려주십시요)

-- 황의범(xevious7)

아마도 관용적인 표현인 것 같습니다. 제 영한 사전을 보면 extract에 '[수학] 근을 구하다'라는 문구가 있고 extraction에 '[수학] (근의) 거듭 제곱근풀이'라는 문구가 있습니다. 추측해보자면, 거듭제곱에서 그 거듭제곱을 구성하는 인수를 '뽑아낸다'는 뜻인 것 같습니다.

그리고 문맥으로 보면... '곱셈'이 이미 언급되어 있고 거듭제곱은 그냥 곱셈을 반복하는 것일 뿐이므로 거듭제곱 자체를 다시 언급할 필요는 없었을 것 같습니다.

--류광

정말 감사합니다.

--황의범(xevious7)

자주 와야 하는데 지금에서야 질문을 보았습니다. square extraction이 제곱근을 구하는 것이라는 사실은 위 문장의 다음 구절을 봐도 알 수 있습니다. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Napier.html

-- 박부성

네 감사합니다. sqaure and cubical extractions 이 관용구로 extractions 과 합쳐져서 제곱근풀이 세제곱근풀이가 확실한 것 같습니다.extract 의 사전에 나온 풀이중에 류광님의 이야기하신것처럼 제곱근풀이라는 것이 나옵니다. 저도 쭉 제곱근,세제곱으로 생각해왓습니만 이 문구에 대해서 이 페이지에 다시올라온 것을 보고 모르는 문장이라 생각하고 첫 단어부터 차근차근 다시 생각하는 과정에서 혹시 곱은 아닐까 하는 의문때문에 의견을 적었었고 그 이유는 위에서 언급된 것이였습니다만 squere and cubical extractions 은 네이피어 시절에서 네이피어가 쓴 문구이고 유명한 문구이기때문에 관용구로 생각하는 것이 맞는 것 같습니다.

--황의범(xevious7)


p.198

제일 위의 중국식 척관법 확인해 주세요:


p.257 average out

식 7 바로 위의 “average out”을 뭐라고 해야 할까요? (저자가 큰 따옴표를 쳤다는 점도 중요할 듯.)


말 그대로 평균을 구한다는 의미입니다만, "average out"의 대상인 "this sequence"가 애초에 평균을 구할 수 없는 수열이기 때문에 따옴표를 친 것 같습니다. 식 (7)은 수열 전체가 아니라 첫 n항의 평균에 불과하고, 게다가 극한값이 존재하지 않으니까요. --김민식

p.311 except for a constant factor

제일 마지막 줄의 a constant factor의 정확한 의미는? 곱수나 나눗수가 상수일 때를 말하는 것인가요?


곱셈이나 나눗셈 자체와는 상관이 없고, 그 계산 복잡도에 관한 얘기입니다. 나눗셈도 곱셈만큼 빨리 할 수 있는데, 걸리는 시간 차이가 기껏해야 상수배 정도만 난다는거죠. --김민식

p.336 whole of

두 번째 줄과 세 번째 줄의 whole of A, whole of C를 그냥 A 전체, C 전체로 하면 될까요?


일부를 뺀 값(A-E)가 아닌 원래 값을 의미하는 것이므로 "A 그대로"를 나누어 떨어진다고 하는게 어떨까요? --김민식

p.378 연습문제 42의 lows

이 lows는 무엇인가요? 혹시 lower bounds? min?


지금까지 나온 것 중 최저값을 말합니다. --김민식

p.379 연습문제 49의 has a given parity

표현이 까다롭네요. ‘항상 짝수 아니면 홀수’라고 해버리면 당연한 말을 하는 것처럼 되어 버리고, ‘주어진 하나의 기우성을 가진다’는 너무 고답적이고...


p.388 a residue mod m

표 아래 문장에서 a residue mod m은 (어떤 수를)m으로 나눈 한 나머지인가요 아니면 어떤 나머지를 m으로 나눈 나머지인가요?(지금까지의 관례를 본다면 전자는 a residue modulo m이라고 썼겠지만 혹시나 해서요.)


(x^2 - N) mod m이 표와 일치해야 한다는 것이니 전자로 해석하는 것이 맞습니다. --김민식

p.402 which heruistically is expected

밑에서 여섯 번째 줄입니다. expected는 단지 그러리라고 기대된다는 것인가요 아니면 평균(기대값)을 암시하는 것인가요?


전자입니다. --김민식

p.405 exponet prime to

앞 페이지에서 이어지는 문단의 밑에서 두 번째 줄, exponet prime to $\varphi(N)$은 $\varphi(N)$을 소수로 거듭제곱한 것을 말하는 거죠?


아닙니다. (a is ((any exponent) prime to phi(N)))입니다. phi(N)과 '서로 소인' a를 지수로 잡는다는 뜻입니다. a를 phi(N)과 서로 소가 되게 잡지 않으면 x^a가 mod N의 모든 값을 취할 수 없습니다. --서상현

p.405 otherwise

페이지에서 시작하는 첫 문단 마지막 줄의 otherwise는 비율 p/q가 단분수에 ‘가깝다면’인가요 아니면 ‘가깝지 않다면’인가요?


"가깝다면"입니다. --김민식

p.423 depending on

식 (4) 아래 줄에서 depending on은 무엇을 수식하는 것일까요? 식 (4) 자체인가요 또는 where 절(a와 b가 단위수)인가요?


a, b가 "the way contents are calculated"에 따라 결정된다는 의미이므로 where 절에 포함됩니다. --김민식

p.411 a factor of two

t에 대한 식 아래로 세 번째 줄입니다. a factor of two는 그냥 2라는 인수이고, ‘두 짝수’의 한 인수를 말하는 것은 아니겠지요?


2를 뜻하는 것이 맞습니다. --김민식

p.415 역시 factor.. a factor of size at most...

연습문제 36 마지막 줄, ... except for a factor of size at most exp(O(log log N))의 a factor는 인수분해 맥락의 인수인가요 아니면 ~배인가요?


후자입니다. --김민식

p.430 The indicated row operations

식 17 다음 문장의 indicated row operations는 표 1에 주어진 행 연산들을 말하는 것이죠?


예. --김민식

p.457 연습문제 17의 order

이 order는 그냥 “차수”로 하면 될까요? (ThTerms의 order 항목도 참고해 주시길...)


네. --서상현

p.478 much less to...

중간의 표 아래 문장에서 much less to ...가 무엇을 수식하는지 확실하지 않습니다.


'much less'는 'let alone'과 비슷한 뜻으로, '하물며', '-는 말할 것도 없이' 등으로 번역할 수 있는 숙어입니다. 여기서 to는 뒤의 'to determine'에 붙습니다.

전체 문단은 "d(r)은 분명 r에 대한 단조증가함수이겠지만, r이 커짐에 따라 d(r)이 점근적으로 어떻게 증가하는지 알아내는 것은 고사하고 d(r)이 단조증가한다는 간단해 보이는 주장조차도 증명할 방법이 마땅치 않다." 정도의 뜻입니다. --서상현

p.480 definite

첫 번째 그림 아래 문장에서 a definite j and k의 definite를 뭐라고 옮겨야 할까요? ‘a’가 있는 것으로 보아서 a definite pair of j and k로 해석할 수도 있겠습니다. definte pair의 번역어를 선택하는 문제가 됩니다. 그런데 definite pair로는 ‘정부호 쌍’이 가장 가까운데, 색인들의 쌍에 대해 정부호라는 말을 붙이는 게 합당할지요....(라고까지 생각하면 사실 we choose ... construction 전체가 무슨 말인지 모르겠습니다-.-)


'일정한'. 이 장은 addition chain을 directed graph에 대응시키는 방법을 묘사하고 있습니다. 예를 들어 1, 2, 3, 4는 addition chain입니다. a_3(=4)는 1+3, 즉 a_0+a_2로 얻을 수도 있고, 2+2, a_1+a_1으로 얻을 수도 있습니다. 이 경우 i=3일때 a_i=a_j+a_k를 만족하는 밑수 (j,k)는 (0,2)와 (1,1)의 두 가지가 있게 되는데, 둘 중 하나를 일정하게 택한다는 뜻입니다. --서상현

p.494 so-called parameter

식 25 아래 두 번째 줄의 so-called paramter는 무엇인가요? so-called가 특별한 수학적 의미를 가지고 있는 것인지요?


p.499 accepting computation

식 33 아래 아홉 번째 줄에 나옵니다. (튜링 기계 또는 계산이론과 관련해서)어느 정도 받아들여진 특정한 용어가 있는지요?


p.538 “round” 전화번호

3.1절 해답 1의 “round” 전화번호는 무엇을 말하는 것일까요? 8, 9 같이 둥글둥글한 숫자? 아니면 숫자들을 누르는 순서가 키패드를 한 바퀴 도는 형태?


여기서 round는 "반올림하다"의 의미로 해석해야 합니다. 3215같은 번호보다는 3200처럼 딱 떨어지는 번호를 선호하므로 난수로 보기 힘들다는 뜻입니다. 다만 그게 항상 "반올림"이라고는 할 수 없기때문에(9999, 2233 등) 따옴표를 친 것입니다. --김민식

p.540 세 번째 문단 첫 문장의 based on

세지윅 등이 분석한 알고리즘이 그러한 m과 n에 기반을 둔 알고리즘이라는 뜻인가요 아니면 그러한 m과 n에 근거해서 분석을 했다는 것인가요?


p.560 해답 12의 bounded away

(ThTerms의 bounded away from에서 논의해 주세요)


p.562 해답 3의 the same thing

해답 3의 수식 아래 네 번째 줄 “the same thing"은 그 위의 수식으로 주어진 확률을 말하는 것인가요?


p.569 "trade tails"

가운데 복잡한 수식 아래 네 번째 줄 “trade tails”는 무슨 뜻인가요?


p.571 saddle-wise

해답 33 세 번째 줄의 (and saddle-wise)를 뭐라고 하면 좋을까요? 일단 (그리고 안장점과도 잘 맞는다)로 했습니다.


p.571 Multiplying out

해답 33 일곱 번째 줄에 나옵니다. “out”의 의미를 모르겠습니다. 그리고 피적분함수를 무엇에 곱하는것인가요?


p.572 seriously negative

(e)의 마지막 줄입니다. seriously를 뭐라고 옮겨야 할까요?


p.572 dip below zero

역시 (e)의 마지막 줄입니다. 비유적인 표현인 것 같은데 그냥 아래로 깊숙이 잠길 때 라고 하면 될까요?


제가 이해한 바로는, S_79는 대개 양수인데, 그 값이 0 아래로 떨어질(dip) 경우에는 seriously하게 많이 떨어진다는 뜻입니다. 즉 2, 6, 4, -50, 3, 7, 5, -100, 2, 6, 4 같은 수열을 말하는 것 같습니다.

fall below zero 같은 표현도 가능했을 터인데 dip을 쓴 이유는 값이 대개 양수이므로 음수로 떨어지는 것을 '잠깐 잠겼다 올라오는' 것으로 비유했을 것입니다. --서상현

p.581 두 번째 줄의 defining

f가 Y를 정의한다는 뜻인가요 아니면 Y를 정의함으로써 f를 다룬다는 뜻인가요?


p.605 해답 10의 doubly infinite sequence

(책에 없다면 원서 정오표를 참고하시길.) doubly infinite sequence는 그냥 “이중” 무한 수열인가요? 혹시 특별한 용어가 있는지요?


p.609 not in any of의 부정

해답 29 두 번째 문단 세 번째~네 번째 줄입니다. then so are nb+1, ..., nb_+ b - 1의 so are는 그 앞의 are not in any of T_j's의 부정인데 이것을 are in all of T_j's로 보아야 할 까요 그냥 are in any of T_j's로 보아야 할까요?


p.610 periodic expansion

해답 31 (c) 항 두 번째 줄입니다. numbers with periodic expansion은 순환소수를 말하는 거죠?


p.621 dilogarithm

해답 14의 세 번째 큰 수식 아래에 나옵니다. 일단 이중로그라고 했는데 더 일반적인 용어가 있는지요?

일본어로 dilogarithm function을 二重????라고 하니까 "이중로그" 정도면 충분할 것 같습니다. -- 박부성


p.631 해답 5의 as we would ...의 수식 관계

해답 6에서 위로 두번째 줄 as we would ...은 to maximize e_1 + ... e_r에만 걸리는 것일까요 아니면 그 앞의 to maximize m_1 + ... m_r까지 해당하는 것일까요? 구문적으로는(쉼표들로 봐서는) 전자 같지만, 실제로 수학적으로 점검할 수 있으면 좋겠습니다.


p.632 isn't close at all

해답 3의 세 번째 줄 this inequality isn't close at all.에서 close는 ‘가깝다’인가요 아니면 ‘닫혀있다’인가요? 후자라면 closed해야 하지 않을까요? 그리고 전자라면 무엇에 가깝다는 것인가요?


'가깝다'입니다. 예를 들어, 어떤 함수 f(x)의 최대값이 10일때 f(x) <= 10 과 같은 부등식은 close 한 것이고, (sharp 하다는 말도 씁니다.) f(x) <= 20 과 같은 부등식은 물론 참이지만 not close 한 것입니다. (loose 하다고도 합니다.) --서상현

p.642 valida vi

해답 20에 나옵니다. 라틴어일까요? 구글 검색 결과, 이탈리아어로 간주하면 valid you입니다만 해당 문맥에서 뜻이 잘 안 통합니다...


p.649 “with”와 “가지는”

해답 16 첫 문장인데요. 원점 근방에서 수렴 멱급수를 “가지는” 홀함수라는 표현 어떤가요? 의미상으로 맞다고 하더라도 번역투가 심한 것 같습니다....


p.665 which는 random variable인가 density인가

해답 36 Note: 문단 밑에서 두 세 번째 줄 which은 random variable theta_n 자체인가요 아니면 그것의 the approximate density인가요?


p.672 it이 가리키는 것은?

해답 2 마지막의 it is a unit multiple .. 의 it은 gcd인가요 아니면 a polynomial인가요?


p.702 these의 실체

해답 23 첫 문단 마지막 문장의 “These”는 f(it)들 자체인가요 아니면 해당 절편들(축과의 교점)인가요?


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